यदि $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$ और $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ $3$-आयामी अंतरिक्ष में सदिश हैं,तो $|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$ का अधिकतम संभावित मान क्या है?

$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ सह-अंतिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $\frac{64}{3}$ घन इकाई है। तो $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ सदिशों द्वारा दिए गए सह-अंतिम किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ... घन इकाई है।

$[(a \times b) \times (b \times c), (b \times c) \times (c \times a), (c \times a) \times (a \times b)] = \,$

यदि $\vec{p}$ और $\vec{q}$ असमान इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot ((2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q})) = |\vec{p} + \vec{q}|$ है,तो $\vec{p}$ और $\vec{q}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है। यदि $\vec{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec{a} \cdot \vec{c}=11$,$\vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c})=27$ और $\vec{b} \cdot \vec{c}=-\sqrt{3}|\vec{b}|$,तो $|\vec{a} \times \vec{c}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]=4$ है,तो $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,और $\bar{c}+2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन क्या होगा?